[ORB-SLAM2]卡方分布(Chi-squared)外点(outlier)剔除

outlier、外点、野值会严重影响SLAM的精度，因此必须把它们剔除。常用的做法是，计算一个误差，当这个误差大于设定阈值的时候就认为其为外点。那么，问题来了，误差怎么算？阈值怎么选？

误差

就特征点法的视觉SLAM而言，一般会计算重投影误差。具体而言，记 $\mathbf{u}$ 为特征点的2D位置， $\mathbf{ \bar u}$ 为由地图点投影到图像上的2D位置。重投影误差为

\mathbf{e}=\mathbf u - \mathbf{\bar u} \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)\\

重投影误差服从高斯分布

\mathbf{e} \sim \mathcal N(\mathbf0, \mathbf\Sigma) \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \\

其中，协方差 $\mathbf \Sigma$ 一般根据特征点提取的金字塔层级确定。具体的，记提取ORB特征时，图像金字塔的每层缩小尺度为 $s$ (ORB-SLAM中为1.2)。在ORB-SLAM中假设第0层的标准差为 $p$ 个pixel (ORB-SLAM中设为了1个pixel)；那么，一个在金字塔第 $n$ 层提取的特征的重投影误差的协方差为

\mathbf \Sigma = {\left( {{s^n} \times p} \right)^2}\left[ {\begin{array}{c} 1&0 \\ 0&1 \end{array}} \right] \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)\\

回头再看一下式(1)中的误差是一个2维向量，阈值也不好设置吧。那就把它变成一个标量，计算向量的内积 $r$ （向量元素的平方和）。但是，这又有一个问题，不同金字塔层的特征点都用同一个阈值，是不是不合理呢。于是，在计算内积的时候，利用协方差进行加权（协方差表达了不确定度）。那么就有了

r = \mathbf e^T \mathbf \Sigma ^{-1} \mathbf e \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\\

利用协方差加权，起到了归一化的作用。具体的(4)式，可以变为

r = (\mathbf \Sigma^{-\frac{1}{2}} \mathbf e)^{T} (\mathbf \Sigma^{-\frac{1}{2}} \mathbf e) \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) \\

而

(\mathbf \Sigma^{-\frac{1}{2}} \mathbf e) \sim \mathcal N (\mathbf 0, \mathbf I) \\

为多维标准正太分布。也就是说不同金字塔层提取的特征，计算的重投影误差都被归一化了，或者说去量纲化了，白化了。。。那么，我们只用一个阈值就可以了。（注意这里的 $r\geq0$ ）

阈值

误差的问题已经解决了，下面的问题是如何选择阈值。式（5）可以看做两个独立的服从标准正太分布随机变量的平方和，它服从2个自由度的Chi-squared distribution卡方分布。以下是WIKI对卡方分布的解释。

In probability theory and statistics, the chi-squared distribution (also chi-square or χ2-distribution) with k degrees of freedom is the distribution of a sum of the squares of k independent standard normal random variables.

卡方分布的自由度即为向量的维度。不同的自由度卡方分布的概率密度函数和概率

文章配图几种自由度的卡方分布概率密度，摘自https://en.wikipedia.org/wiki/Chi-squared_distribution